Предмет математики
настільки серйозний, що
корисно не пропустити
нагоди зробити його цікавим.
Б. Паскаль
Пограйтеся
№1
На столі лежить 20 сірників. Двоє по черзі беруть 1 або 2 сірники. Перемагає той, хто бере останній сірник. Як виграти?
№2
П'ятнадцять сірників розміщені в ряд. Треба зібрати їх у 5 купок по 3 в кожній, перекладаючи їх по одному і кожний раз перестрибуючи при цьому через три сірники.
№3
На малюнку зображено ліс (із сірників) і хлопчика, що їде до бабусі. Перекладіть два сірники так, щоб він повертався назад.
№4
На малюнку 35 сірників розкладено так, що спіраль, «закручена» за годинниковою стрілкою. Перекладіть 4 сірники, щоб одержати спіраль, «закручену» проти годинникової стрілки.
№5
У кожному горизонтальному рядку перекладіть по одному сірнику, щоб усі шість горизонтальних і вертикальних рівностей були правильні.
№6
Візьмемо смужку паперу в клітинку і занумеруємо клітинки числами 0;1;2;3;4… На одній із клітинок стоїть фішка. Грають двоє. Вони по черзі пересувають фішку вліво на одну, дві, три або чотири клітинки. Програє той, кому нікуди ходити (виграє той, хто поставить фішку на нуль). При якому початковому положенні фішки виграє той, хто починає гру, а при якому його партнер?
№7
Двоє почергово говорять довільні числа, які не більші, ніж 10. Ці числа додаються одне за одним. Виграє той, хто першим скаже «сто». Як виграти?
Вказівки. Розв’язання
№4 Треба зробити 12 таких перекладань: 2 до 6; 1 до 6; 8 до 12; 7 до 12; 9 до 5; 10 до 5; 4 між 5 і 6; 3 між 5 і 6; 11 між 5 і 6; 13 на місце з номером 11, 14 на те ж місце, 15 на те ж місце.
№6 Розглянемо клітинку. Якщо фішка стоїть у цій клітинці, то той, хто починає не може виграти. А його партнер при правильній грі виграє. Аналогічну властивість мають клітинки 10, 15, … . Отже, той, хто починає, виграє, якщо кожного разу буде ставити фішку на клітинку, номер якої кратний 5.
№7 Треба називати числа, щоб отримати послідовність сум: 1; 12; 23; 34; 45; 56; 67; 78; 89.
Поміркуйте
№1
Мишці до дірки 20 кроків, кішці до мишки 5 стрибків. Доки кішка робить один стрибок, мишка робить 3 кроки, а 1 стрибок кішки дорівнює 10 крокам мишки. Чи дожене кішка мишку?
№2
Три мисливці варили кашу. Один з них всипав 2 склянки пшона, другий – 1 склянку, а в третього пшона не було. Вони з’їли кашу порівну. Третій мисливець і каже: «Дякую за кашу. У мене лишилось 5 патронів, - і от завдання, як поділити патрони відповідно до вашого вкладу при приготуванні каші?»
№3
На білу площину розлили чорне чорнило. Чи правильно, що:
а) знайдуться дві точки одного кольору віддалені на 10м;
б) знайдуться дві точки різного кольору віддалені на 10м.
№4
На озері росло латаття. Кожного дня його кількість подвоювалась і на 20-ий день заросло все озеро. На який день заросла четвертина озера?
№5
Сергійкова кімната має таку властивість: якщо її поставити на «бік» (на будь-яку бічну стіну), то її площа не зменшиться. Якою може бути найбільша площа цієї кімнати, якщо її висота 3м?
№6
Вставте пропущене число.
|
4 |
9 |
20 |
|
8 |
5 |
14 |
|
10 |
3 |
? |
№7
Вставте пропущену букву.
|
А |
Г |
Ж |
|
Г |
З |
Л |
|
З |
М |
? |
№8
Є дві сковороди. На кожній з них можна підсмажити один млинець. Кожний бік млинця смажиться 1 хвилину. Треба підсмажити 3 млинці з двох боків. За який найменший час це можна зробити?
№9
Серед 80 однакових на вигляд монет одна фальшива (легша). Як за допомогою чотириразового використання шалькових терезів без важків знайти фальшиву монету?
№10
В сім’ї четверо дітей, їм 5, 8, 13, 15 років. Дітей звуть Марійка, Борис, Віра і Галя. Скільки років кожній дитині, якщо одна дівчинка ходить у дитячий садок, Марійка старша Бориса, а сума років Марійки і Віри ділиться на 3?
№11
Микола і Віктор живуть в одному будинку. На кожному поверсі в усіх під’їздах є по 4 квартири. Микола живе на п’ятому поверсі в квартирі №83, а Віктор на третьому поверсі в квартирі №169. Скільки поверхів у цьому будинку?
Вказівки. Розв’язання
№1 Доки кішка зробить 7 стрибків, мишка зробить 21 крок.
№2 Кожен мисливець з’їв кашу, зварену з 1 склянки пшона.
№4 На 18-ий день.
№8 3 хв.
№9 Покладемо на обидві шальки терезів по 27 монет. У випадку рівноваги фальшива монета у групі з 26 монет. Якщо терези в рівновазі, то фальшива монета в легшій групі з 27 монет. З групи, де фальшива монета, беремо по 9 монет і т. д.
№10 5+13=18. Отже, Вірі 5 років, Марійці – 13 років, Борису – 8 років, Галі – 15 років.
№11 Число квартир, що передують квартирі Миколи і розміщені в попередніх під’їздах та на перших чотирьох поверхах даного під’їзду, є найбільше число кратне 4, яке менше 83, тобто 80. Тоді в попередніх під’їздах є 64 квартири. Тобто добуток числа поверхів на число під’їздів дорівнює 16. Провівши аналогічні міркування відносно квартири Віктора отримаємо, що добуток числа поверхів на число під’їздів у цьому випадку дорівнює 40. Оскільки 16=2*8; 40=5*8, а числа 2 і 5 взаємно прості, то кількість поверхів дорівнює 8.
Підрахуйте
№1
Зустрілись троє друзів і вирішили зіграти в шахи. Домовились, що кожен з них зіграє з кожним один раз. Скільки було зіграно партій? А скільки було б зіграно партій, якби друзів було шестеро?
№2
На площині відмічено 4 точки, жодні три з яких не лежать на одній прямій. Скільки різних прямих визначають ці точки? А скільки можна було б провести прямих, якби точок було п’ять?
№3
Скільки можна провести прямих через n точок, якщо жодні три з них не лежать на одній прямій?
№4
Знайдіть таке розміщення трьох точок, щоб вони визначали рівно три прямі; чотирьох точок, щоб вони визначали рівно 4 прямі; n точок, щоб вони визначали рівно n прямих.
№5
На площині дано 7 точок, три з яких лежать на одній прямій, а решта чотири не лежать на одній прямій і ніякі три з них не лежать на одній прямій. Скільки всього прямих можна провести через дані 7 точок?
№6
На першій прямій через рівні проміжки поставили 10 точок. Вони зайняли відрізок довжиною l. На другій прямій через такі ж проміжки поставили 100 точок. Вони зайняли відрізок довжиною L. У скільки разів L більше l?
№7
Відомо, що пряма поділяє площину на 2 частини, 2 прямі, що перетинаються – на 4 частини. А на скільки частин можуть поділити площину 3 прямі (розгляньте всі випадки).
№8
Листок паперу розрізали на 3 частини, потім одну з цих частин розрізали ще на 3 частини і так зробили 40 разів. Скільки одержали частин?
№9
Є дев’ять різних квадратиків, з яких три червоні, три білі, три сині.
Скількома способами їх можна розмістити у вигляді квадрата 3х3 так, щоб у кожному рядку і кожному стовпці зустрічались квадратики всіх кольорів?
№10
Щоб пронумерувати сторінки книжки використали 337 цифр. Скільки сторінок має книжка, якщо її почали нумерувати з третьої сторінки?
Вказівки. Розв’язання
№2 З кожної точки до трьох інших можна провести пряму. А оскільки прямі ВА і АВ це одна і та ж пряма, то загальна кількість прямих буде 4*3/2=6.
№3 n(n-1)/2
№4 Чотири точки визначають чотири прямі при такому розміщенні.
№8 При кожному розрізуванні кількість частин збільшується на дві.
Дослідіть трикутник
№1
Визначте вид трикутника, у якого сума двох кутів:
а) менша третього; б) дорівнює третьому; в) більша третього.
№2
Який вид має трикутник, якщо один з його зовнішніх кутів менший від внутрішнього, суміжного з ним?
№3
Чи може висота трикутника співпадати з його стороною? Чи може тільки одна висота співпадати з його стороною?
№4
Основа рівнобедреного трикутника в 2 рази більша за висоту, проведену до основи Знайдіть кути цього трикутника.
№5
Якщо відношення гострих кутів прямокутного трикутника 1:3, то бісектриса найбільшого кута дорівнює одному з катетів. Доведіть.
№6
У трикутнику медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює одному із катетів. Яке відношення величин гострих кутів цього трикутника?
№7
Бісектриса і медіана, проведенні з вершини прямого кута трикутника є сторонами рівнобедреного трикутника. Знайдіть кути цього трикутника.
№8
Бісектриси двох внутрішніх кутів трикутника перетинаються під кутом 45о. Визначте вид трикутника.
№9
Кут між висотою і медіаною, проведеними до гіпотенузи, дорівнює одному з кутів трикутника. Знайдіть відношення гострих кутів трикутника.
№10
У трикутнику кут між медіаною і висотою, проведеними до гіпотенузи, дорівнює 22о. Знайдіть гострі кути цього трикутника.
Вказівки. Розв’язання
№5 Кут В=22,5о; кут А=67,5о; кут АСD=45о. Треба знайти кут ADC.
№6 Медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи.
№7 Нехай кут ά, тоді кут МСВ= ά; кут АСD=45о. Треба знайти кут DСМ;
кут DСМ =кут СМD.
№8 Кут ВОМ- зовнішній кут трикутника АОВ. Кут ВОМ= кутА/2+кутВ/2
№10 Кут СОН=90о-22о=68о, трикутник СОВ-рівнобедрений.
Побудуйте графік
№1
Побудуйте графік функції:
а) у=|х|; б) у=|х|+2; в) у=|х|-3; г) у=4-|х|; д) у=|х|+3х; е) у=-|х|; є) у=|-х|; ж) у=|-х|+3
№2
Побудуйте графік функції:
а) у=|х-1|; б) у=|х+2|; в) у=|х+1|+3; г) у=-|2-х|; д) у=-|х+3|.
№3
Побудуйте графік рівняння:
а) |х|+х=2у; б) |у|= ху; в) |х|+у=0; г) |х|-х = у; д) |х|+|у|=2; е) |х+у|=1.
Вказівки. Розв’язання
№1 г) Якщо х>=0, то у= 4-х; якщо х<0, то у=4+х. є) |х|=|-х|.
№2 г) у=-|2-х|. Якщо х<=2, то 2-х>=0, тоді у=-(2-х)=х-2; якщо х>2, то 2-х<0, тоді у=2-х.
№3 б) |у|=ху. Якщо у>0, то у=ху; х=1; якщо у<0, то –у=ху; х=-1; якщо у=0, то х-будь-яке число.
е) |х+у|=1. х+у=+1, тобто х+у=1 або х+у=-1.
Доведіть
№1
У класі вчиться 26 учнів. Доведіть, що хоча б троє з них відзначають день народження протягом одного місяця.
№2
Доведіть, що коли від тризначного числа відняти суму його цифр, то одержана різниця ділиться на 9.
№3
Дано дріб, чисельник і знаменник якого містять однакову кількість цифр. Якщо до чисельника приписати чисельник, а до знаменника-знаменник, то одержимо дріб, що дорівнює даному. Доведіть.
№4
Одне з чисел більше від другого на 2. Доведіть, що добуток цих чисел, збільшений на 1, є точним квадратом.
№5
Доведіть, що 1111+1212+1313 ділиться на 10.
№6
Візьмемо два двозначних числа і перемножити їх. Нехай А-їх добуток. Тепер у кожному співмножнику переставимо цифри і числа знову перемножимо. Одержимо число В. Доведіть, що число А-В ділиться на 99.
№7
Якщо сторона і медіана та висота, проведені до цієї сторони, одного трикутника, відповідно дорівнюють стороні, медіані і висоті, другого трикутника, то такі трикутники рівні. Доведіть.
№8
Якщо кут і бісектриса та висота, проведені з вершини цього кута одного трикутника, відповідно дорівнюють куту, бісектрисі і висоті другого трикутника, то такі трикутники рівні. Доведіть.
№9
На прямій відмічено 45 точок, що лежать поза відрізком АВ цієї прямої. Доведіть, що сума відстаней від цих точок до точки А не дорівнює сумі відстаней від них до точки В.
№10
На кожній із сторін трикутника АВС побудовані прямокутники однакової ширини так, що вони попарно дотикаються вершинами і мають рівні сторони, що не належать сторонам трикутника. Доведіть, що прямі, які з’єднують вершини трикутника АВС з відповідними вершинами трикутника А1В1С1, перетинаються в одній точці.
Вказівки. Розв’язання
№3 Нехай дріб ab…l/cd…m містить по n цифр у чисельнику і знаменнику. Якщо допишемо до чисельника чисельник, а до знаменника - знаменник, то одержимо дріб ab…lab…l/cd…mcd…m=ab…l*10n+ab…l/cd…m*10n+cd…m.
№5 1111- закінчується цифрою 1, 1212-цифрою 6, 1313-цифрою3, тому сума 1111+1212+1313 закінчується нулем.
№6 Двозначні числа: 10a+b і 10c+d. Коли цифри переставимо, то одержимо числа 10b+a і 10d+c.
№9 45- число непарне.
№10 Точка А1 рівновіддалена від двох сторін трикутника АВС.
Знайдіть помилку
І. Знайдіть помилки в записах.
№1
а) а2+а2=а4; б) (а3)2=а6; в) а3*а4=а12; г) (-2а2)3=-6а64 д) (3а4)3=27а7
№2
а) якщо |х| =5, то х=5; б) якщо|х|=0, то х=0; в) якщо|х-2|=3, то х=5; г) якщо х(х-6)=0, то х=6.
№3
а) -15х=5; х=3; б) ах=4; 4/а; в) (а-1)х=а2-1; х=а2-1/а-1; г) ах=в; х=в/а.
№4
а) завжди х лежить лівіше 2х; б) х2 завжди більше х; в) інколи -3х лежить правіше х.
ІІ. Знайдіть помилку в міркуваннях.
№5
Нехай b - будь-яке число і а=1,5b. Тоді 10а=15b і 14а=21b. Звідки 14а-10а=21b-15b, або 15b-10а=21b-14а. Отже, 5(3b-2а)=7(3b-2а).
Скоротивши на 3b-2а, одержимо5=7.
№6
Візьмемо очевидну рівність 6:6=7:7. Після винесення за дужки спільного множника з кожної частини рівності будемо мати: 6(1:1)=7(1:1), або 2*3(1:1)=7(1:1). Знаючи, що 1:1=1, з останньої рівності одержуємо 2*3=7.
№7
Продавець мав дві корзини з грушами різних сортів, по 60 штук у кожній. За цей товар передбачалось вторгувати 9 гривень 50 коп. при таких розрахунках: 30 коп. за 4 груші з першої корзини і 50 коп. за 6 груш з другої корзини. Однак продавець для спрощення роботи змішав груші обох сортів і продавав десяток за 80 коп. продавши груші, він порахував гроші і отримав 9 гривень 60 коп. Звідки взялися 10 копійок?